Semana 10

 

SEMANA 10. ¡¡CALCULO DIFERENCIAL!!

Las derivadas son reglas matemáticas que sirven para estudiar las funciones. En particular, la derivada de una función en un punto es el resultado de un límite e indica el comportamiento de la función en ese punto.

La derivada de una función se expresa con el signo prima ‘, es decir, la función f'(x) es la derivada de la función f(x).

Geométricamente, el significado de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

Comencemos explicando de forma sencilla qué es una derivada. La mejor forma para entenderlas es mediante dibujos e ilustraciones, por ello hemos creído conveniente explicar brevemente el significado y posteriormente poneros unos vídeos para que entendáis el concepto al 100%.

Dentro del mundillo de las matemáticas las derivadas son una forma más de averiguar un resultado que necesitamos para resolver un problema dado u ocasionado. Las derivadas principalmente sirven para calcular un valor en un punto determinado de una función matemática que varía progresivamente.

En rojo, la gráfica de la función f(x)=x². Los puntos azules representan el valor de la derivada de f(x) en cada abscisa considerada. Parece razonable pensar que la ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul y= 2·x, con lo que podemos decir que la función derivada de f(x) es f'(x)=2·x.

En negro, la recta tangente a la función en el punto de abscisa a. El valor de su pendiente, m, es, precisamente, el valor de la la derivada en ese punto f'(a). Observa que, en 1, la función es creciente en el punto considerado, siendo f'(a) > 0. En cambio, en 2, la función es decreciente y f'(a) < 0.

La función derivada es aquella que, para cada valor de x nos devuelve el valor de la pendiente de la recta tangente a la función de la cual deriva. Así, en la ilustración 1, tenemos f(x)=x², f'(x)=2x y x=-1. La recta tangente, en verde, tiene por pendiente -2 (observa en el grid que por cada unidad horizontal hay un descenso de 2 unidades verticales). Es justamente el valor de f'(-1). A la derecha consideramos la misma función, pero en x=1.5. El valor de la derivada es 3, significando que la pendiente de la recta tangente es justamente 3. Es posible calcular la derivada de la derivada de una función, y a su vez volver a calcular la derivada de la función resultante. Puedes repetir este proceso tantas veces como quieras. De esta manera, tendríamos la primera derivada f'(x), la segunda derivada f''(x), la tercera derivada f'''(x) y así sucesivamente.

Originalmente, la notación de estas derivadas sucesivas consistía en ir añadiendo de superíndice números romanos que indicaban el orden de la derivada, por ejemplo f^II para la derivada segunda y f^V para la derivada quinta. No obstante en la actualidad se le añade un símbolo prima (') a f(x) hasta la tercera derivada, y a partir de ahí sí que se utilizan números romanos.